Cho phân số \(m = \dfrac{{31}}{{{2^3}.{a^4}}}\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) với \(1 < a <

Câu hỏi số 578753:

Vận dụng cao

Cho phân số \(m = \dfrac{{31}}{{{2^3}.{a^4}}}\). Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) với \(1 < a < 36\) để phân số trên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?

A. 7 số.

B. 8 số.

C. 9 số.

D. 10 số.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578753

Phương pháp giải

Các phân số tối giản có mẫu số chỉ có các ước nguyên tố là \(2\) hoặc \(5\), hoặc cả \(2\) và \(5\) thì viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: \(m\) tối giản.

+ TH2: \(m\) chưa tối giản.

Giải chi tiết

+ TH1: Khi \(m\) tối giản.

Khi đó \(m\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu \({2^3}.{a^4}\) không có ước nguyên tố nào khác \(2\) và \(5\).

Vì \(a\) nguyên dương và \(1 < a < 36\) nên ta tìm các số nguyên lớn hơn \(1\) và nhỏ hơn \(36\) sao cho \(a\) chỉ có ước nguyên tố là \(2\) hoặc \(5\), hoặc cả \(2\) và \(5\).

Có thể xảy ra các khả năng sau:

+\(a\) chỉ có ước nguyên tố là \(2\): có 5 số gồm \(2;{2^2};{2^3};{2^4}\).

+ \(a\) chỉ có ước nguyên tố là \(5\): có \(2\) số gồm \(5;{5^2}\).

+ \(a\) có ước nguyên tố là \(2\) và \(5\): có \(3\) số gồm \(10;20;30\).

Do đó, các số \(a\) thoả mãn là: \(5 + 2 + 3 = 10\) (số)

+ TH2: Khi \(m\) chưa tối giản.

Vì \(m\) có tử số là \(31\) (là số nguyên tố) nên \(m\) chưa tối giản khi mẫu có ước là \(31\).

Khi đó, phân số sau khi rút gọn vẫn còn ước nguyên tố là \(31\) nên không là số thập phân hữu hạn.

Vậy tìm được 10 số \(a\) thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link