Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng: \(\dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} +

Câu hỏi số 580561:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} + 1} }} + \dfrac{c}{{b\sqrt {{c^2} + 1} }} + \dfrac{a}{{c\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580561

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô-si và BĐT Cauchy-Swarz

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(a + b + c = abc \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} = 1\).

Đặt \(\dfrac{1}{a} = x;\,\,\dfrac{1}{b} = y;\,\,\dfrac{1}{x} = z\,\,\,\,\,\left( {x,y,z > 0} \right)\) \( \Rightarrow xy + yz + zx = 1\).

Khi đó: \({x^2} + 1 = {x^2} + xy + yz + zx = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

Tương tự:

\(\begin{array}{l}{y^2} + 1 = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\\{z^2} + 1 = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} + 1} }} = \dfrac{{\dfrac{1}{y}}}{{\dfrac{1}{x}\sqrt {\dfrac{1}{{{y^2}}} + 1} }} = \dfrac{x}{{y.\dfrac{{\sqrt {1 + {y^2}} }}{y}}} = \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} \le \dfrac{{y + z + y + x}}{2} = \dfrac{{x + 2y + z}}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(y + z = y + x \Leftrightarrow x = z\).

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)} }} \ge \dfrac{{2x}}{{x + 2y + z}} \Rightarrow \dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} + 1} }} \ge \dfrac{{2x}}{{x + 2y + z}}\).

Tương tự ta có: \(\dfrac{c}{{b\sqrt {{c^2} + 1} }} \ge \dfrac{{2y}}{{x + y + 2z}},\,\,\dfrac{a}{{c\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge \dfrac{{2z}}{{2x + y + z}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z \Leftrightarrow a = b = c\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} + 1} }} + \dfrac{c}{{b\sqrt {{c^2} + 1} }} + \dfrac{a}{{c\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge \dfrac{{2x}}{{x + 2y + z}} + \dfrac{{2y}}{{x + y + 2z}} + \dfrac{{2z}}{{2x + y + z}}\\\dfrac{{2x}}{{x + 2y + z}} + \dfrac{{2y}}{{x + y + 2z}} + \dfrac{{2z}}{{2x + y + z}} = 2\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2xy + zx}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xy + {y^2} + 2yz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{2zx + yz + {z^2}}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swarz ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2xy + zx}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xy + {y^2} + 2yz}} + \dfrac{{{z^2}}}{{2zx + yz + {z^2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3xy + 3yz + 3zx}} = \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + \left( {xy + yz + zx} \right)}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{2x}}{{x + 2y + z}} + \dfrac{{2y}}{{x + y + 2z}} + \dfrac{{2z}}{{2x + y + z}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + \left( {xy + yz + zx} \right)}}\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)\\2xy + 2yz + 2zx \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \left( {xy + yz + zx} \right)\\ \Rightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\\ \Rightarrow xy + yz + zx \le \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{b}{{a\sqrt {{b^2} + 1} }} + \dfrac{c}{{b\sqrt {{c^2} + 1} }} + \dfrac{a}{{c\sqrt {{a^2} + 1} }} \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + xy + yz + zx}}\\ \ge \dfrac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}}} = \dfrac{3}{2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = abc\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link