Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC.

Câu hỏi số 580560:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Đường thẳng MN cắt cung nhỏ BC của đường tròn (O) tại P.

1. Chứng minh tứ giác OMCN nội tiếp.

2. Gọi D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D khác A, B). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD cắt cạnh BC tại điểm I khác B; K là giao điểm của hai đường thẳng DI và AC. Chứng minh PK.PB = PC.PD

3. Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD, đường thẳng IG cắt AB tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số \(\dfrac{{AD}}{{AE}}\) không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580560

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) \(\left. \begin{array}{l}\angle BDP = \angle CKP\left( {cmt} \right)\\\angle DBP = \angle PCK\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DBP \sim \Delta KCP\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow PK.PB = PC.PD\)

3) Lập luận dựa vào giả thiết của bài toán

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác OMCN nội tiếp.

Xét \(\left( O \right)\) có:

+ \(OM\) đi qua trung điểm \(M\) của dây cung \(BC\) (dây \(BC\) không đi tâm)

\( \Rightarrow OM \bot BC\) tại \(M\) (Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy)

\( \Rightarrow \angle ONC = {90^0}\)

+ \(ON\) đi qua trung điểm \(N\) của dây cung \(AC\) (dây \(AC\) không đi qua tâm)

\( \Rightarrow ON \bot AC\) tại \(N\) (Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy)

\( \Rightarrow \angle OMC = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OMCN\) có: \(\angle ONC + \angle OMC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\angle ONC;\angle OMC\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow OMCN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Ta có: \(BDIP\) nội tiếp đường tròn, ta có:

\(\angle DBP = \angle PIK\) (cùng bù với \(\angle PID\)) (1)

\(\angle BDP = \angle BIP\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BP\))(2)

Ta có: \(ABPC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), ta có:

\(\angle ABP = \angle PCK\) (cùng bù với \(\angle ACP\)) (3)

Từ (1) và (3), suy ra \(\angle DBP = \angle PIK = \angle PCK\)

Xét tứ giác \(PICK\) có: \(\angle PIK = \angle PCK\,\,\left( {cmt} \right)\) mà hai góc này có đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow PICK\) nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle BIP = \angle CKP\) (cùng bù với \(\angle CIP\)) (4)

Từ (2) va (4) suy ra \(\angle BDP = \angle CKP\)

Xét \(\Delta DBP\) và \(\Delta KCP\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BDP = \angle CKP\left( {cmt} \right)\\\angle DBP = \angle PCK\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DBP \sim \Delta KCP\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{PD}}{{KP}}\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow PK.PB = PC.PD\) (đpcm).

3. Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD, đường thẳng IG cắt AB tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số \(\dfrac{{AD}}{{AE}}\) không đổi.

Do bốn điểm B, D, G, I cùng nằm trên một đường tròn và bốn điểm C, P, B, A cùng nằm trên một đường tròn

\( \Rightarrow \angle PGI = \angle PBI\) (cùng chắn cung PI) và \(\angle PBC = \angle PAC\) (cùng chắn cung PC)

\( \Rightarrow \angle PGI = \angle PAC\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow IG//CA\) (dhnb).

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{KD}}{{KI}}\) (định lí Ta-lét). (5)

Trên cạnh BC lấy điểm J sao cho \(\angle KPI = \angle CPJ\)

Theo câu b, tứ giác \(PICK\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle KPI = {180^0} - \angle KCI = \angle BCA = \angle CPJ\).

Mà \(\angle BCA\) không đổi, C, P cố định \( \Rightarrow J\) là điểm cố định.

Lại có B, C cố định \( \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CJ}} = const\)

Mặt khác, ta có: \(\Delta PKI \sim \Delta PCJ\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KI}}{{CJ}} = \dfrac{{PK}}{{PC}}\) (6)

Lại có: \(\Delta PKD \sim \Delta PCB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PK}}{{PC}} = \dfrac{{KD}}{{CB}}\) (7)

Từ (6) và (7) \( \Rightarrow \dfrac{{KI}}{{CJ}} = \dfrac{{KD}}{{CB}} \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CJ}} = \dfrac{{KD}}{{KI}}\) (8)

Từ (5) và (8) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{CB}}{{CJ}} = const\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link