Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ
a) \(\sqrt 2 \)
b) \(\sqrt 5 \)

Câu hỏi số 582283:

Vận dụng

Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ

a) \(\sqrt 2 \)

b) \(\sqrt 5 \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:582283

Phương pháp giải

Để chứng minh một số là số vô tỉ ta dùng cách sau:

+ Giả sử số đó là số hữu tỉ dạng \(\dfrac{c}{d}\left( {c,d \in \mathbb{N};d \ne 0;\dfrac{c}{g}\;toi\;gian} \right)\)

+ Từ đó suy luận để tìm ra mâu thuẫn.

+ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Giải chi tiết

a) Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ

\( \Rightarrow \sqrt 2 = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N};b \ne 0;\dfrac{a}{b}toi\;gian} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({a^2} = 2.{b^2} \vdots 2\)

\( \Rightarrow {a^2} \vdots 2\)

Mà \(2\) là số nguyên tố

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a \vdots 2\left( 1 \right)\\ \Rightarrow {a^2} \vdots {2^2}\;hay\;{a^2} \vdots 4\\ \Rightarrow 2{b^2} \vdots 4\\ \Rightarrow {b^2} \vdots 2 \Rightarrow b \vdots 2\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{a}{b}\) không phải là phân số tối giản (mâu thuẫn)

Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ (đpcm)

b) Giả sử \(\sqrt 5 \) là số hữu tỉ

\( \Rightarrow \sqrt 5 = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N};b \ne ;\dfrac{a}{b}\;toi\;gian} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({a^2} = 5{b^2} \vdots 5\)

\( \Rightarrow {a^2} \vdots 5\)

Mà \(5\) là số nguyên tố

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a \vdots 5\left( * \right)\\ \Rightarrow {a^2} \vdots {5^2}\;hay\;{a^2} \vdots 25\\ \Rightarrow 5{b^2} \vdots 25\\ \Rightarrow {b^2} \vdots 5 \Rightarrow b \vdots 5\left( {**} \right)\end{array}\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{a}{b}\) không phải là phân số tối giản (mâu thuẫn)

Vậy \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link