Biết bất phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _9}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) \le 1\)

Câu hỏi số 588743:

Vận dụng

Biết bất phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _9}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn [a;b]. Giá trị của a + b bằng:

A. \( - 2 + {\log _3}10\)

B. \(2 + {\log _3}10\)

C. \( - 2 + {\log _3}40\)

D. \(2 + {\log _3}40\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:588743

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\) đưa về cùng cơ số 3.

Sử dụng công thức \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\) đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với hàm số logarit.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \({3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _9}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{{3^2}}}\left[ {3\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).\dfrac{1}{2}{\log _3}\left[ {3\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] \le 2\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) + \log _3^2\left( {{3^x} - 1} \right) - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 \le {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} \le {3^x} - 1 \le 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{9} \le {3^x} \le 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{10}}{9} \le x \le {\log _3}4\end{array}\)

=> Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {{{\log }_3}\dfrac{{10}}{9};{{\log }_3}4} \right] \Rightarrow a = {\log _3}\dfrac{{10}}{9},\,\,b = {\log _3}4\).

Vậy \(a + b = {\log _3}\dfrac{{10}}{9} + {\log _3}4 = {\log _3}\dfrac{{40}}{9} = - 2 + {\log _3}40\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.