Cho tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên cạnh \(AB\) và

Câu hỏi số 589839:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên cạnh \(AB\) và \(AC\) lấy các điểm \(P,Q\) sao cho \(MP,MQ\) lần lượt vuông góc với \(AB,AC\).

a) Chứng minh rằng: \(MP = MQ\) và \(AP = AQ\).

b) Đường thẳng \(PQ\) có vuông góc với \(AM\) không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589839

Phương pháp giải

a) Xét \(\Delta MPB\) và \(\Delta MQC\), chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

b) Vận dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Giải chi tiết

a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết) nên \(\angle ABC = \angle ACB\) (tính chất của tam giác cân) suy ra \(\angle PBM = \angle QCM\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\) (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)

Vì \(MP,MQ\) lần lượt vuông góc với \(AB,AC\) nên ta có: \(\angle BPM = \angle APM = {90^0}\,;\,\angle CQM = \angle AQM = {90^0}\)

*Xét \(\Delta MPB\) và \(\Delta MQC\) có:

\(\angle BPM = \angle CQM = {90^0}\) (chứng minh trên)

\(BM = MC\) (chứng minh trên)

\(\angle PBM = \angle QCM\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta MPB = \Delta MQC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow MP = MQ\) (hai cạnh tương ứng)

và \(BP = QC\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

\(P\) nằm giữa \(A\) và \(B\), suy ra \(AB = AP + BP \Rightarrow AP = AB - BP\)

\(Q\) nằm giữa \(A\) và \(C\), suy ra \(AC = AQ + QC \Rightarrow AQ = AC - QC\)

Mà \(AB = AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)); \(BP = QC\) (chứng minh trên)

Do đó, \(AP = AQ\) (điều phải chứng minh)

b) Ta có: \(AP = AQ;MP = MQ\) nên \(A,M\)cùng cách đều hai điểm \(P,Q\) nên \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\).

Do đó, \(AM\) vuông góc với \(PQ\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.