Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc = 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.

Câu hỏi số 5905:

Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc $\widehat{BAC}$ = 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.

A. OB = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

B. OA = $\frac{a\sqrt{19}}{5}$

C. OB = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

D. OA = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5905

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của BC

=> AI ⊥ BC => SI ⊥ BC.

Ta có AI là hình chiếu vuong góc của SI trên mặt phẳng (ABC).

Vậy góc giữa SI là hình chiếu của nó trên (ABC) là góc $\widehat{SIA}$

Tam giác ABC: BC = 2R sin A (định lý sin).

Mà R = 2a; $\widehat{BAC}$ = 120°

=> BC = 2R. sin 120° = 4a. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 2a√3

Tìm được: BC = 2a√3;

Lại có: I là trung điểm của BC nên BI = a√3;

Trong ∆SAI:

tan $\widehat{SIA}$ = $\frac{SA}{AI}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{a}$ => $\widehat{SIA}$ = 60°

∆ABI => AI = BI. cot $\widehat{BAI}$ = a√3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = a

Ta đã biết tâm mặt cầu ngoiaj tiếp SABC nằm trên trục của tam giác ABC ( đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC). Ở đây do tam giác ABC cân nên đường tròn ngoiaj tiếp của nó nằm trên AI, lại do bán kính của đường tròn đó R = 2a. Do đó tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC là J với Ạ = 2a ( như hình vẽ). Trục của tam giác ABC là đường thẳng Jt. Trong mặt phẳng (SAJ) dựng đường trung trực của SA cắt Jt tại O thì O chính là tâm cầu ngoại tiếp SABC. Bán kính cầu chính là OA. Xét tam giác AOJ có:

OA² = OJ² + JA² = ( $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ )² + (2a)² = $\frac{19a^{2}}{4}$

=> OA = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.