Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi P, Q là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AP} =

Câu hỏi số 590765:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi P, Q là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AP} = 3\overrightarrow {PB} \), \(2\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng ba điểm P, Q, G thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590765

Phương pháp giải

Biểu diễn \(\overrightarrow {PG} ,\,\,\overrightarrow {QG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \).

Chứng minh \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {PG} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AG} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {QG} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AG} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{5}\overrightarrow {AC} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{5}\overrightarrow {AC} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{3}{5}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \dfrac{4}{{15}}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Ta có: \( - \dfrac{4}{5}\overrightarrow {PG} = - \dfrac{4}{5}\left( { - \dfrac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \dfrac{4}{{15}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {QG} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {QG} = - \dfrac{4}{5}\overrightarrow {PG} \).

Vậy P, Q, G thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.