Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + 2b + 4c = 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 5913:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + 2b + 4c = 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\frac{2ab}{a+2b}$ + $\frac{8bc}{2b+4c}$ + $\frac{4ac}{4c+a}$ .

A. GTLN của P là 4

B. GTLN của P là 5

C. GTLN của P là 9

D. GTLN của P là 6

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5913

Giải chi tiết

Đặt X = a; Y = 2b; Z = 4c => X + Y + Z = 12.

Khi đó P = $\frac{XY}{X+Y}$ + $\frac{YZ}{Y+Z}$ + $\frac{XZ}{X+Z}$

Ta có X + Y ≥ 2√XY => $\frac{1}{X+Y}$ ≤ $\frac{1}{2\sqrt{XY}}$ => $\frac{XY}{X+Y}$ ≤ $\frac{\sqrt{XY}}{2}$

Vậy $\frac{XY}{X+Y}$ ≤ $\frac{\sqrt{XY}}{2}$ .

Tương tự: $\frac{YZ}{Z+Y}$ ≤ $\frac{\sqrt{ZY}}{2}$ ; $\frac{XZ}{X+Z}$ ≤ $\frac{\sqrt{XZ}}{2}$ .

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên

P = $\frac{XY}{X+Y}$ + $\frac{YZ}{Y+Z}$ + $\frac{XZ}{X+Z}$ ≤ $\frac{\sqrt{XZ}}{2}$ . + $\frac{\sqrt{ZY}}{2}$ + $\frac{\sqrt{XY}}{2}$

= $\frac{1}{2}$ ( √XY + √YZ + √YZ ) ≤ $\frac{1}{2}$ ( X + Y + Z ) = 6

=> P ≤ 6.

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} X=Y=Z\\X+Y+Z=12 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} a=2b=4c\\a+2b+4c=12 \end{matrix}\right.$

Vậy GTLN của P là 6 khi a = 4; b = 2; c = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.