Cho dãy \(\dfrac{a}{{2009}} = \dfrac{b}{{2011}} = \dfrac{c}{{2013}}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{{\left( {a - c}

Câu hỏi số 592709:

Vận dụng

Cho dãy \(\dfrac{a}{{2009}} = \dfrac{b}{{2011}} = \dfrac{c}{{2013}}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592709

Phương pháp giải

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\)

+ Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\), sau đó thay vào biểu thức.

+ Sử dụng phương pháp chứng minh bắc cầu

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{{2009}} = \dfrac{b}{{2011}} = \dfrac{c}{{2013}} = \dfrac{{a - b}}{{2009 - 2011}} = \dfrac{{a - c}}{{2009 - 2013}} = \dfrac{{b - c}}{{2011 - 2013}}\)

Suy ra, \(\dfrac{{a - b}}{{ - 2}} = \dfrac{{a - c}}{{ - 4}} = \dfrac{{b - c}}{{ - 2}}\)

Đặt \(\dfrac{{a - b}}{{ - 2}} = \dfrac{{a - c}}{{ - 4}} = \dfrac{{b - c}}{{ - 2}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - c = - 2k\\a - c = - 4k\\a - b = - 2k\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( { - 4k} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{16{k^2}}}{4} = 4{k^2}\\VP = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) = - 2k.\left( { - 2k} \right) = 4{k^2}\\ \Rightarrow VP = VT\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link