Cho \({x^2} + {y^2} = 1\) và \(b{x^2} = a{y^2}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{a^{1000}}}} +

Câu hỏi số 592710:

Vận dụng

Cho \({x^2} + {y^2} = 1\) và \(b{x^2} = a{y^2}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{a^{1000}}}} + \dfrac{{{y^{2000}}}}{{{b^{1000}}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592710

Phương pháp giải

+ \({a^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

+ \(b{x^2} = a{y^2} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} = \dfrac{{{y^2}}}{b} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}}\)

Mặt khác, \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{a}} \right)^{1000}} = {\left( {\dfrac{{{y^2}}}{b}} \right)^{1000}} = {\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{a + b}}} \right)^{1000}} = {\left( {\dfrac{1}{{a + b}}} \right)^{1000}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}}\)

Lại có: \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{a}} \right)^{1000}} = {\left( {\dfrac{{{y^2}}}{b}} \right)^{1000}} = \dfrac{{{x^{2000}}}}{{{a^{1000}}}} = \dfrac{{{y^{2000}}}}{{{b^{1000}}}}\)

Suy ra \(\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{a^{1000}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}};\,\,\,\dfrac{{{y^{2000}}}}{{{b^{1000}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}}\)

Cộng theo từng vế, ta được: \(\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{a^{1000}}}} + \dfrac{{{y^{2000}}}}{{{b^{1000}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1000}}}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link