Chứng minh rằng nếu \(x = \dfrac{{a - b}}{{a + b}};y = \dfrac{{b - c}}{{b + c}};z = \dfrac{{c - a}}{{c + a}}\)

Câu hỏi số 592711:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng nếu \(x = \dfrac{{a - b}}{{a + b}};y = \dfrac{{b - c}}{{b + c}};z = \dfrac{{c - a}}{{c + a}}\) thì \(\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:592711

Phương pháp giải

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\)

Giải chi tiết

Xét vế trái của biểu thức:

\(\begin{array}{l}1 + x = 1 + \dfrac{{a - b}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b}}{{a + b}} + \dfrac{{a - b}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b + a - b}}{{a + b}} = \dfrac{{2a}}{{a + b}}\\1 + y = 1 + \dfrac{{b - c}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{b - c}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c + b - c}}{{b + c}} = \dfrac{{2b}}{{b + c}}\\1 + z = 1 + \dfrac{{c - a}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a}}{{c + a}} + \dfrac{{c - a}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a + c - a}}{{c + a}} = \dfrac{{2c}}{{c + a}}\\ \Rightarrow VT = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right) = \dfrac{{2a}}{{a + b}}.\dfrac{{2b}}{{b + c}}.\dfrac{{2c}}{{c + a}} = \dfrac{{8abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét vế phải của biểu thức:

\(\begin{array}{l}1 - x = 1 - \dfrac{{a - b}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b}}{{a + b}} - \dfrac{{a - b}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b - \left( {a - b} \right)}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b - a + b}}{{a + b}} = \dfrac{{2b}}{{a + b}}\\1 - y = 1 - \dfrac{{b - c}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c}}{{b + c}} - \dfrac{{b - c}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c - \left( {b - c} \right)}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c - b + c}}{{b + c}} = \dfrac{{2c}}{{b + c}}\\1 - z = 1 - \dfrac{{c - a}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a}}{{c + a}} - \dfrac{{c - a}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a - \left( {c - a} \right)}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a - c + a}}{{c + a}} = \dfrac{{2a}}{{c + a}}\\ \Rightarrow VP = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right) = \dfrac{{2b}}{{a + b}}.\dfrac{{2c}}{{b + c}}.\dfrac{{2a}}{{c + a}} = \dfrac{{8abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow VT = VP\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link