Cho bốn số khác \(0\) là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\) thoả mãn \(a_2^2 = {a_1}{a_3};a_3^2 = {a_2}{a_4}\).

Câu hỏi số 594295:

Thông hiểu

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594295

Phương pháp giải

+ Tính chất cơ bản: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

+ Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\). Sau đó thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, ta được cùng một biểu thức, suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}{a_3} \Rightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\\a_3^2 = {a_2}{a_4} \Rightarrow \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Đặt \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{a_2}\\{a_2} = k{a_3}\\{a_3} = k{a_4}\end{array} \right.\)

\(VT = \dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{k^3}a_2^3 + {k^3}a_3^3 + {k^3}a_4^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{k^3}\left( {a_2^3 + a_3^3 + a_4^3} \right)}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = {k^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(VP = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{k{a_2}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{kk{a_3}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{{k^2}k{a_4}}}{{{a_4}}} = {k^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra, \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link