Cho 3 số \(x,y,z\) thoả mãn: \(\dfrac{x}{{2020}} = \dfrac{y}{{2021}} = \dfrac{z}{{2022}}\). Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 594298:

Vận dụng

Cho 3 số \(x,y,z\) thoả mãn: \(\dfrac{x}{{2020}} = \dfrac{y}{{2021}} = \dfrac{z}{{2022}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {x - z} \right)^3} = 8{\left( {x - y} \right)^2}\left( {y - z} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594298

Phương pháp giải

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + g + f}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}} = \dfrac{{a - e}}{{b - f}} = \dfrac{{c - e}}{{g - f}}\)

+ Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\). Sau đó thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, ta được cùng một biểu thức, suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{2020}} = \dfrac{z}{{2022}} = \dfrac{{x - z}}{{2020 - 2022}} = \dfrac{{x - z}}{{ - 2}}\left( 1 \right)\\\dfrac{x}{{2020}} = \dfrac{y}{{2021}} = \dfrac{{x - y}}{{2020 - 2021}} = \dfrac{{x - y}}{{ - 1}}\left( 2 \right)\\\dfrac{y}{{2021}} = \dfrac{z}{{2022}} = \dfrac{{y - z}}{{2021 - 2022}} = \dfrac{{y - z}}{{ - 1}}\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \dfrac{{x - z}}{{ - 2}} = \dfrac{{x - y}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - z}}{{ - 1}}\)

Đặt \(\dfrac{{x - z}}{{ - 2}} = \dfrac{{x - y}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - z}}{{ - 1}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z = - 2k\\x - y = - k\\y - z = - k\end{array} \right.\)

Thay \(x - z = - 2k;x - y = - k;y - z = - k\) và đẳng thức ta được

\(VT = {\left( { - 2k} \right)^3} = - 8{k^3}\)

\(VP = 8{\left( { - k} \right)^2}.\left( { - k} \right) = - 8{k^3}\)

\( \Rightarrow VT = VP \Rightarrow {\left( {x - z} \right)^3} = 8{\left( {x - y} \right)^2}\left( {y - z} \right)\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link