Cho các số thực \(a,b,c,x,y,z \ne 0\) thoả mãn \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\). Chứng minh

Câu hỏi số 594304:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c,x,y,z \ne 0\) thoả mãn \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {ax + by + cz} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594304

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = kb\\c = kd\end{array} \right.\). Sau đó thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, ta được cùng một biểu thức, suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = ka\\y = kb\\z = kc\end{array} \right.\)

Thay \(x = ka;y = kb;z = kc\) vào đẳng thức, ta được:

\(VT = \dfrac{{{{\left( {ka} \right)}^2} + {{\left( {kb} \right)}^2} + {{\left( {kc} \right)}^2}}}{{{{\left( {a.ka + b.kb + c.kc} \right)}^2}}} = \dfrac{{{k^2}{a^2} + {k^2}{b^2} + {k^2}{c^2}}}{{{{\left( {k{a^2} + k{b^2} + k{c^2}} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{{k^{^2}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left[ {k\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{{k^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{{k^2}{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {c^2}}}{{{{\left( {ax + by + cz} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link