Cho 3 số \(a,b,c\) đôi 1 khác nhau. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c}

Câu hỏi số 594303:

Vận dụng cao

Cho 3 số \(a,b,c\) đôi 1 khác nhau. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \dfrac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} =\)\( \dfrac{2}{{a - b}} + \dfrac{2}{{b - c}} + \dfrac{2}{{c - d}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594303

Phương pháp giải

+ Ta có: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - a}}{{ - b}}\)

+ Quy tắc dấu ngoặc:

Khi phá ngoặc có dấu “–” đằng trước ta cần đổi dấu các hạng tử ở trong ngoặc: \( - \left( {a + b - c} \right) = - a - b + c\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{2}{{a - b}} = \dfrac{1}{{a - b}} + \dfrac{1}{{a - b}} = \dfrac{1}{{a - b}} + \dfrac{{ - 1}}{{b - a}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{2}{{b - c}} = \dfrac{1}{{b - c}} + \dfrac{1}{{b - c}} = \dfrac{1}{{b - c}} + \dfrac{{ - 1}}{{c - b}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{2}{{c - a}} = \dfrac{1}{{c - a}} + \dfrac{1}{{c - a}} = \dfrac{1}{{c - a}} + \dfrac{{ - 1}}{{a - c}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Lấy \(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right)\) ta được:

\(\dfrac{2}{{a - b}} + \dfrac{2}{{b - c}} + \dfrac{2}{{c - a}} = \dfrac{1}{{a - b}} + \dfrac{{ - 1}}{{b - a}} + \dfrac{1}{{b - c}} + \dfrac{{ - 1}}{{c - b}} + \dfrac{1}{{c - a}} + \dfrac{{ - 1}}{{a - c}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{1}{{a - b}} + \dfrac{{ - 1}}{{a - c}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{b - c}} + \dfrac{{ - 1}}{{b - a}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{c - a}} + \dfrac{{ - 1}}{{c - b}}} \right)\\ = \dfrac{{a - c + \left[ { - \left( {a - b} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{{b - a + \left[ { - \left( {b - c} \right)} \right]}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \dfrac{{c - b + \left[ { - \left( {c - a} \right)} \right]}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\\ = \dfrac{{a - c - a + b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{{b - a - b + c}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \dfrac{{c - b - c + a}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\\ = \dfrac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \dfrac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \)đpcm

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link