Cho \(\dfrac{{2022a + b + c + d}}{a} = \dfrac{{a + 2022b + c + d}}{b} \)\(= \dfrac{{a + b + 2022c + d}}{c} = \dfrac{{a

Câu hỏi số 595359:

Vận dụng cao

Cho \(\dfrac{{2022a + b + c + d}}{a} = \dfrac{{a + 2022b + c + d}}{b} \)\(= \dfrac{{a + b + 2022c + d}}{c} = \dfrac{{a + b + c + 2022d}}{d}\)

Tính \(M = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} + \dfrac{{b + c}}{{d + a}} + \dfrac{{c + d}}{{a + b}} + \dfrac{{d + a}}{{b + c}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595359

Phương pháp giải

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng trong một đẳng thức từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

\(x - a = b \Rightarrow x = a + b\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{2022a + b + c + d}}{a} = \dfrac{{a + 2022b + c + d}}{b} = \dfrac{{a + b + 2022c + d}}{c} = \dfrac{{a + b + c + 2022d}}{d}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2022a + b + c + d}}{a} - 2021 = \dfrac{{a + 2022b + c + d}}{b} - 2021 = \dfrac{{a + b + 2022c + d}}{c} - 2021 = \dfrac{{a + b + c + 2022d}}{d} - 2021\\ \Rightarrow \dfrac{{a + b + c + d}}{a} = \dfrac{{a + b + c + d}}{b} = \dfrac{{a + b + c + d}}{c} = \dfrac{{a + b + c + d}}{d}\left( * \right)\end{array}\)

+ Trường hợp 1: \(a + b + c + d \ne 0\)

\(\left( * \right) \Rightarrow a = b = c = d\)

\(M = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} + \dfrac{{b + c}}{{d + a}} + \dfrac{{c + d}}{{a + b}} + \dfrac{{d + a}}{{b + c}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{a + a}}{{a + a}} + \dfrac{{b + b}}{{b + b}} + \dfrac{{c + c}}{{c + c}} + \dfrac{{d + d}}{{d + d}}\\ = 1 + 1 + 1 + 1\\ = 4\end{array}\)

+ Trường hợp 2: \(a + b + c + d = 0\)

\( \Rightarrow a + b = - \left( {c + d} \right);\;\;a + c = - \left( {b + d} \right);\;\;a + d = - \left( {b + c} \right)\)

Thay vào biểu thức \(M\), ta được:

\(M = \dfrac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \dfrac{{b + c}}{{ - \left( {b + c} \right)}} + \dfrac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \dfrac{{ - \left( {b + c} \right)}}{{b + c}}\)

\(\begin{array}{l} = - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\\ = - 4\end{array}\)

Vậy \(M = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} + \dfrac{{b + c}}{{d + a}} + \dfrac{{c + d}}{{a + b}} + \dfrac{{d + a}}{{b + c}} = 4\left( {a + b + c + d \ne 0} \right)\)

\(M = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} + \dfrac{{b + c}}{{d + a}} + \dfrac{{c + d}}{{a + b}} + \dfrac{{d + a}}{{b + c}} = - 4\left( {a + b + c + d = 0} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link