Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 2mx + {m^2} + 2m + 3 = 0\), với m là tham số. Tìm các giá trị của m

Câu hỏi số 596378:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 2mx + {m^2} + 2m + 3 = 0\), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa \(x_1^3 + x_2^3 = 108.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596378

Phương pháp giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Biến đổi \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} + 2m + 3} \right) = {\rm{ \;}} - 2m - 3\).

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow 2m < {\rm{ \;}} - 3 \Leftrightarrow m < {\rm{ \;}} - \dfrac{3}{2}\).

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - 2m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m + 3}\end{array}} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 108\)

\({( - 2m)^3} - 3 \cdot \left( {{m^2} + 2m + 3} \right) \cdot \left( { - 2m} \right) = 108\)

\( - 8{m^3} + 6m\left( {{m^2} + 2m + 3} \right) = 108\)

\( - 8{m^3} + 6{m^3} + 12{m^2} + 18m - 108 = 0\)

\( - 2{m^3} + 12{m^2} + 18m - 108 = 0\)

\(\left( { - 2{m^3} + 18m} \right) + \left( {12{m^2} - 108} \right) = 0\)

\( - 2m\left( {{m^2} - 9} \right) + 12\left( {{m^2} - 9} \right) = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2\left( {{m^2} - 9} \right)\left( {m - 6} \right) = 0}\\{ - 2\left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 = 0}\\{m + 3 = 0}\\{m - 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\\{m = {\rm{ \;}} - 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{m = 6{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Vậy \(m = {\rm{ \;}} - 3\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link