Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \(P = \dfrac{a}{{\sqrt {(a

Câu hỏi số 596562:

Vận dụng cao

Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \(P = \dfrac{a}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {(c + a)(c + b)} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596562

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{a}{{4\left( {a + c} \right)}}\)

\(\dfrac{{2b}}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} \le \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{b}{{b + a}}\)

\(\dfrac{c}{{\sqrt {(c + a)(c + b)} }} \le \dfrac{c}{{4\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{c}{{c + b}}\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {(b + c)(b + a)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {(c + a)(c + b)} }} \le \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{a}{{4\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{b}{{b + a}} + \dfrac{c}{{4\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{c}{{c + b}}\)

Suy ra:

\(P \le \left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + a}}} \right) + \left( {\dfrac{a}{{4\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{c}{{4\left( {c + a} \right)}}} \right) + \left( {\dfrac{c}{{c + b}} + \dfrac{b}{{b + c}}} \right) = 1 + \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{9}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{a}{{4\left( {a + c} \right)}}}\\{\dfrac{b}{{b + c}} = \dfrac{b}{{b + a}}}\\{\dfrac{c}{{4\left( {c + a} \right)}} = \dfrac{c}{{c + b}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 4\left( {a + c} \right)}\\{b + c = b + a}\\{4\left( {c + a} \right) = c + b}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\a + b = 4.2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = c = \dfrac{b}{7}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\dfrac{9}{4}\) khi \(a = c = \dfrac{b}{7}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link