Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây cung MN vuông góc với AB \(\left( {AM < BM} \right)\). Hai
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây cung MN vuông góc với AB \(\left( {AM < BM} \right)\). Hai đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng AB.
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn
b) Chứng minh rằng \(NB.HK = AN.HB\)
c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta ANB \sim \Delta KHB\,\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow NB.HK = AN.HB\)
c) \(HM \bot OM\) tại M.
Vậy HM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M (đpcm)
a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn
Xét (O), có \(\angle AMB = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác AHKM có: \(\angle AMK + \angle AHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Mà 2 góc này ở vị trí đối diện
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn. (dhnb)
b) Chứng minh rằng \(NB.HK = AN.HB\)
Vì dây cung MN vuông góc với đường kính AB tại I \( \Rightarrow \) I là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \) \(AI\) là đường trung trực của \(MN\)
\( \Rightarrow AM = AN\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow cungAM = cungAN\) (hai dây bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle MBA = \angle NBA\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét (O), có: \(\angle ANB = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta KHB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle ANB = \angle KHB\,\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\\\angle ABN = \angle ABM = \angle HBK\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ANB \sim \Delta KHB\,\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{HB}} = \dfrac{{AN}}{{KH}}\)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow NB.HK = AN.HB\) (đpcm)
c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O).
Vì tứ giác AHKM là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\angle HMA = \angle HKA\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HA)(1)
Xét \(\Delta KHA\) vuông tại H có \(\angle KAH + \angle HKA = {90^0}\)
Xét \(\Delta ANB\) vuông tại N có \(\angle NAB + \angle ABN = {90^0}\)
Mà \(\angle KAH = \angle NAB\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle HKA = \angle ABN\)(2)
Mà \(\angle ABM = \angle ABN\,\,\,(cmt);\) \(\angle ABM = \angle BMO\) (do tam giác BMO cân tại O)
\( \Rightarrow \angle ABN = \angle BMO\)(3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \angle HMA = \angle BMO\)
Mà \(\angle AMO + \angle BMO = \angle AMB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle AMO + \angle HMA = 90^\circ \Rightarrow \angle HMO = {90^0}\) \( \Rightarrow HM \bot OM\) tại M.
Vậy HM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
