Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx} \). Kết quả là:

Câu hỏi số 596631:

Vận dụng

A. \(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{2}{3}.\)

B. \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{2}{3}.\)

C. \(\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{2}{3}.\)

D. \(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{2}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596631

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x\cos x + {{\sin }^2}x\cos x} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} = A + B\end{array}\)

*) Gọi \(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx} \)

*) Đặt

\(\begin{array}{l}*)\,\,A = \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{2}\sin \dfrac{\pi }{2} - \left( {\sin \dfrac{\pi }{2} - \sin 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{2} - 1\end{array}\)

*) Gọi \(B = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} \)

*) Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \) đổi cận: \(\begin{array}{*{20}{c}}x&{0 \to \dfrac{\pi }{2}}\\t&{0\,\,\, \to \,\,1}\end{array}\)

*) Vi phân: \(\cos xdx = dt\)

Thay: \(B = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} = \left. {\dfrac{1}{3}{t^3}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3}.\)

Vậy \(I = \dfrac{\pi }{2} - 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.