Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{a}\pi - \ln b\),

Câu hỏi số 596632:

Vận dụng

Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{a}\pi - \ln b\), với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = a² + b.

A. T = 9.

B. T = 13.

C. T = 7.

D. T = 11.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596632

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dv\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dv \Rightarrow \tan x = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}I = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan xdx} \\\,\,\, = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{3}}\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{\pi }{3}\tan \dfrac{\pi }{3}} \right) + \ln \dfrac{1}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\pi - \ln 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\\ \Rightarrow T = {a^2} + b = {3^2} + 2 = 11.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.