Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} = m\pi + n\ln 2\,\,\left( {m,n

Câu hỏi số 596642:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} = m\pi + n\ln 2\,\,\left( {m,n \in \mathbb{R}} \right)\), hãy tính giá trị của biểu thức P = 2m + n.

A. P = 1.

B. P = 0,75.

C. P = 0,25.

D. P = 0.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596642

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\{\sin ^2}xdx = dv\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\{\sin ^2}xdx = dv \Rightarrow - \cot x = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}I = \left. { - x\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cot xdx} \\\,\,\, = \left. { - x\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\\,\,\, = \left( { - \dfrac{\pi }{2}\cot \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}\cot \dfrac{\pi }{4}} \right) + \left( {\ln 1 - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\\\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{\pi }{4} - \left( {\ln \sqrt 2 - \ln 2} \right) = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\ln 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m = \dfrac{1}{4},\,\,n = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow P = 2m + n = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.