Cho tích phân \(I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = a - b\ln 2 + c\ln

Câu hỏi số 596641:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = a - b\ln 2 + c\ln 3\). Tính giá trị biểu thức A = a + b + c.

A. \(\dfrac{{ - 1}}{3}.\)

B. \(\dfrac{2}{3}.\)

C. \(\dfrac{7}{3}.\)

D. -3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596641

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}1 + ln\left( {x + 1} \right) = u\\\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = dv\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}1 + ln\left( {x + 1} \right) = u \Rightarrow \dfrac{1}{{x + 1}}dx = du\\\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{x} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}I = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}\left[ {1 + \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\, = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}\left[ {1 + \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\\,\,\, = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}\left[ {1 + \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_1^3 + \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\\,\,\, = \left[ { - \dfrac{1}{3}\left( {1 + \ln 4} \right) + 1\left( {1 + \ln 2} \right)} \right] + \left[ {\left( {\ln 3 - \ln 4} \right) - \left( {\ln 1 - \ln 2} \right)} \right]\\\,\,\, = - \dfrac{2}{3}\ln 2 + \ln 3 + \dfrac{2}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = \dfrac{2}{3},\,\,b = \dfrac{2}{3},\,\,c = 1.\\ \Rightarrow A = a + b + c = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{7}{3}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.