\(I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} \).

Câu hỏi số 596874:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596874

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \underbrace {\int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} }_A + \underbrace {\int\limits_1^3 {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} }_B\\ + )\,\,A = \int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \dfrac{1}{x}} \right|_1^3 = - \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3}.\\ + )\,\,B = \int\limits_1^3 {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 1} \right) = u \Rightarrow \dfrac{1}{{x + 1}}dx = du\\\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{x} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{3}\ln 4 + \ln 2 + \int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{3}\ln 4 + \ln 2 + \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{3}\ln 4 + \ln 2 + \left( {\ln 3 - \ln 4 - \ln 1 + \ln 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 2}}{3}\ln 2 + \ln 3\end{array}\)
Vậy \(I = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\ln 2 + \ln 3.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.