\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \).

Câu hỏi số 596878:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596878

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\sin x + \left( {x + 1} \right)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \\ + )\,\,A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dx} = \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \dfrac{\pi }{4}\\ + )\,\,B = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \end{array}\)

Đặt \(x\sin x + \cos x = t \Rightarrow x\cos xdx = dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\y = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 1} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow B = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} {\dfrac{1}{t}dt} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} = \ln \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\).

Vậy \(I = \dfrac{\pi }{4} + \ln \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.