\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \).

Câu hỏi số 596879:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596879

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ + )\,\,A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \sqrt 3 \\ + )\,\,B = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx = dv \Rightarrow \dfrac{1}{{\cos x}} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \left. {\dfrac{x}{{\cos x}}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{\cos x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\dfrac{x}{{\cos x}}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{\sin x - 1}} - \dfrac{1}{{\sin x + 1}}} \right)\cos xdx} \end{array}\)

Đặt \(\sin x = t \Leftrightarrow \cos xdx = dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{\sin x - 1}} - \dfrac{1}{{\sin x + 1}}} \right)\cos xdx} = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\dfrac{1}{{t - 1}} - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \ln \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \ln \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right)\\ = \ln \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \ln \left( {4\sqrt 3 - 7} \right)\end{array}\)

Vậy \(I = A + B = \sqrt 3 + \ln \left( {4\sqrt 3 - 7} \right).\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.