\(I = \int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right){{\cos }^2}xdx} \).

Câu hỏi số 596927:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596927

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right){{\cos }^2}xdx} = \int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right)\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\\,\,\, = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right)dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right)\cos 2xdx} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,{I_1} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^{\dfrac{\pi }{2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} - \dfrac{\pi }{4}.\end{array}\)

+) \({I_2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1} \right)\cos 2xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {2x - 1} \right) = u \Rightarrow dx = du\\\cos 2xdx = dv \Rightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \left. {\dfrac{1}{4}\left( {2x - 1} \right)\sin 2x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{2}.\left. {\left( { - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{1}{4}\left( { - 1 - 1} \right) = - \dfrac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy \(I = {I_1} + {I_2} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} - \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{2}.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.