Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới

Câu hỏi số 596931:

Vận dụng

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường \(y = \sqrt x \sin x\,\,\left( {0 \le x \le \pi } \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596931

Giải chi tiết

Vật thể bị giới hạn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt x \sin x\\y = 0\\x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể khi quay quanh Ox: \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( {\sqrt x \sin x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^\pi {x{{\sin }^2}xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\{\sin ^2}xdx = dv \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right) = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\dfrac{1}{2}x\left( {x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\dfrac{1}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)dx} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\dfrac{\pi }{2}\left( {\pi - \dfrac{1}{2}\sin 2\pi } \right) - \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\dfrac{{{\pi ^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{\pi ^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}\cos 2\pi } \right) + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}\cos 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \pi \left( {\dfrac{{{\pi ^2}}}{2} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}} \right) = \dfrac{{{\pi ^3}}}{4}.\end{array}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.