Cho các số dương x, y, z thỏa mãn \(x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {z^2}} + z\sqrt {1 - {x^2}}

Câu hỏi số 597744:

Vận dụng cao

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn \(x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {z^2}} + z\sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(P = {x^4} + {y^4} + {z^4}\) là:

A. \(1\)

B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597744

Phương pháp giải

Vận dụng bất đẳng thức Cô – si.

Giải chi tiết

\(x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {z^2}} + z\sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {1 - {z^2}} + 2z\sqrt {1 - {x^2}} = 3\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\left. \begin{array}{l}2x\sqrt {1 - {y^2}} \le {x^2} + 1 - {y^2}\\2y\sqrt {1 - {z^2}} \le {y^2} + 1 - {z^2}\\2z\sqrt {1 - {x^2}} \le {z^2} + 1 - {x^2}\end{array} \right\} \Rightarrow 2x\sqrt {1 - {y^2}} + 2y\sqrt {1 - {z^2}} + 2z\sqrt {1 - {x^2}} \le 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {1 - {y^2}} \\y = \sqrt {1 - {z^2}} \\z = \sqrt {1 - {x^2}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1 - {y^2}\\{y^2} = 1 - {z^2}\\{z^2} = 1 - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 1 - {x^2}\\{y^2} = 1 - {z^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 - {x^2} = 1 - {z^2}\\ \Rightarrow {x^2} = {z^2}\\ \Rightarrow x = z\,\left( {do\,\,\,x,y,z > 0} \right)\end{array}\)

Tương tự: \(x = y \Rightarrow x = y = z\)

Khi đó, ta có: \(2x\sqrt {1 - {x^2}} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6x\sqrt {1 - {x^2}} = 3\\ \Leftrightarrow 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow - 4{x^4} + 4{x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{x^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\\ \Rightarrow x = y = z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Khi đó, \(P = 3.{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^4} = \dfrac{3}{4}\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link