Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) (1) (với x là ẩn số)a) Giải phương

Câu hỏi số 598826:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) (1) (với x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(F = x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598826

Phương pháp giải

a) Thay m = 0 vào phương trình.

Vận dụng ứng dụng của hệ thức Vi – ét, tìm nghiệm của phương trình.

b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0\))

c) Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) sau đó thay vào biểu thức F để tìm GTNN

Giải chi tiết

a) Với m = 0, thay vào phương trình (1), ta được: \({x^2} - 2.\left( { - 1} \right)x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\)

Ta có: \(1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = - 3\)

Vậy với m = 0, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 3;1} \right\}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3\\\,\,\,\,\,\, = - 2m + 4\end{array}\)

Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - 2m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\)

Vậy \(m \le 2\) phương trình (1) có nghiệm

c) Với \(m \le 2\) phương trình (1) có nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(F = x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}\\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 3} \right) + 2\left( {m - 1} \right)\\ = 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6 + 2m - 2\\ = 2{m^2} - 6m + 8\\ = 2\left( {{m^2} - 3m + 4} \right)\\ = 2\left( {{m^2} - 2.m.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{4} + 4} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + \dfrac{7}{4}} \right]\\ = 2{\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{2}\end{array}\)

Vì \({\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow 2{\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{2} \ge \dfrac{7}{2},\forall m\)

Suy ra \(F \ge \dfrac{7}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m - \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {tmdk} \right)\)

Vậy GTNN của F là \(\dfrac{7}{2}\) khi \(m = \dfrac{3}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link