Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn (O). Gọi BE, CF là các
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn (O). Gọi BE, CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I (A không trùng với I). Chứng minh hai tam giác IBC và IFE đồng dạng với nhau.
c) Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
b) \(\Delta IBC \sim \Delta IFE\left( {g.g} \right)\)
c) \(\angle AIB + \angle BIK = {180^0}\)\( \Rightarrow A,I,K\) thảng hàng
a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot AC \Rightarrow \angle AEH = {90^0}\\HF \bot AB \Rightarrow \angle AFH = {90^0}\end{array} \right.\)
Tứ giác AEHF có: \(\angle AEH + \angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow AEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I (A không trùng với I). Chứng minh hai tam giác IBC và IFE đồng dạng với nhau.
Gọi (O’) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF khi đó I thuộc đường tròn (O’)
*Xét (O’) có: \(\angle IAF = \angle IEF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IF)
\( \Rightarrow \angle IAB = \angle IEF\)
Xét (O) có: \(\angle IAB = \angle ICB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB)
Suy ra \(\angle IEF = \angle ICB\)
*Xét (O’) có: \(\angle FIE = \angle FAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
\( \Rightarrow \angle FIE = \angle BAC\)
Xét (O) có: \(\angle BAC = \angle BIC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \angle FIE = \angle BIC\)
Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta IFE\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle IEF = \angle ICB\left( {cmt} \right)\\\angle FIE = \angle BIC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta IFE\left( {g.g} \right)\)
c) Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Ta có: \(\angle IFK + \angle IFE = {180^0}\) (hai góc kề bù)
\(\angle IBK + \angle IBC = {180^0}\) (hai góc kề bù)
Mà \(\angle IFE = \angle IBC\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow IFK = \angle IBK\)
Tứ giác IFBK có: \(\angle IFK = \angle IBK\) mà hai góc này có hai đỉnh F và B kề nhau cùng nhìn IK dưới một góc bằng nhau
\( \Rightarrow IFBK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle KIB = \angle KFB\) (hai góc nội tiếp cùng nhìn cạnh KB)
Ta có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) mà hai góc này có hai đỉnh F và E kề nhau cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau
\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle BFE + \angle BCE = {180^0}\)
Vì AIBC là tứ giác giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle AIB + \angle BCE = {180^0}\) (hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)
\( \Rightarrow \angle AIB = \angle BFE\) (cùng bù với \(\angle BCE\))
Ta có:
\(\angle BFE + \angle BFK = {180^0}\)(hai góc kề bù)
\(\begin{array}{l}\angle AIB = \angle BFE\left( {cmt} \right)\\\angle BFK = BIK\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle AIB + \angle BIK = {180^0}\)
\( \Rightarrow A,I,K\) thảng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
