Cho nửa đường tròn với đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm trên nửa đường tròn sao

Câu hỏi số 598874:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn với đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại một điểm I.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \).

b) Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} \) theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598874

Phương pháp giải

Tổng hợp và cân bằng lực.

Giải chi tiết

a) Do M thuộc nửa đường tròn với đường kính AB nên \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow AM = AB.\cos \angle BAM = AB.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AB} } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AM} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AI.AM.\cos {0^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AI.AM = AI.AB.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AB} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) Tương tự ta chứng minh được \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = 4{R^2}.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.