Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x(x2 + y) + y(y2 + x)

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 60178:

Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x(x² + y) + y(y² + x)

A. Max P = 8120605021 Min P = 2035205401

B. Max P = 812060502 Min P = 203520540

C. Max P = 120605021 Min P = 035205401

D. Max P = 812005021 Min P = 2035205401

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:60178

Giải chi tiết

Có thể giả sử x > y, => 1006 ≤ x ≤ 2010

Đặt 2011 = a, khi đó

P = (x³ + y³) + 2xy = (x + y)³ – 3xy(x + y) + 2xy = a³ – 3x(a – x)a + 2x(a – x)

= (3a – 2)x² – (3a²– 2a)x + a³(3a – 2)(x² – ax) + a³

= (3a – 2)[(x – $\frac{1}{2}$ a)² – $\frac{1}{4}$ a²] + a³

= (3a – 2)(x – $\frac{1}{2}$ a)² + [a³ – $\frac{1}{4}$ a²(3a – 2) (2)

Vì 3a - 2 > 0, x – $\frac{1}{2}$ a > 0(do(1)) nên hàm số y = mX² (với m = 3a - 2, X = x – $\frac{1}{2}$ a)

đồng biến khi X > 0

=> P là hàm đồng biến => Max P = 8120605021 tại x = 2010, y = 1

Min P = 2035205401 tại x = 1006, y = 1005

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link