Xét hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 605146:

Vận dụng cao

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn điều kiện \(2f\left( x \right) - 3f\left( {1 - x} \right) = x\sqrt {1 - x} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\).

A. \(I = \dfrac{4}{{75}}\).

B. \(I = - \dfrac{1}{{15}}\).

C. \(I = \dfrac{1}{{25}}\).

D. \(I = - \dfrac{4}{{15}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605146

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và \(2f\left( x \right) - 3f\left( {1 - x} \right) = x\sqrt {1 - x} \).

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3f\left( {1 - x} \right)} \right]} dx = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 - x} } dx\)

\( \Leftrightarrow 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx - 3\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)} dx = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 - x} } dx\) (*)

Xét \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)} dx\).

Đặt \(t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx\).

Khi đó: \(J = \int\limits_1^0 {f\left( t \right)} \,\left( { - dt} \right) = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = I\)

Xét \(K = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 - x} } dx\).

Đặt \(t = \sqrt {1 - x} \Rightarrow {t^2} = 1 - x \Rightarrow 2tdt = - dx\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}K = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t.\left( { - 2tdt} \right)} \\ = 2\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)} dt\\ = \left. {2\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1\\ = 2.\dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{15}}\end{array}\).

Thay vào (*): \(2I - 3I = \dfrac{1}{{15}} \Rightarrow I = - \dfrac{1}{{15}}\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.