Xét các số phức \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z }
Xét các số phức \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\). Tính \(F = a + 4b\) khi \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {a + bi - a + bi} \right) - 15i = i{\left( {a + bi + a - bi - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8bi - 15i = i{\left( {2a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8b - 15 = {\left( {2a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}{a^2} - \dfrac{1}{2}a + 2\end{array}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right| = \left| {a + bi - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}{a^2} - \dfrac{1}{2}a + 2 + 3} \right)}^2}} \end{array}\)
\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} + {{\left( {{a^2} - a + 10} \right)}^2}} \).
Xét hàm số \(f\left( a \right) = {\left( {2a - 1} \right)^2} + {\left( {{a^2} - a + 10} \right)^2}\), ta có:
\(f'\left( a \right) = 2\left( {2a - 1} \right) + 2\left( {{a^2} - a + 10} \right)\left( {2a - 1} \right)\)
\( = 2\left( {2a - 1} \right)\left( {{a^2} - a + 11} \right)\)
\(f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow \left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right| \ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{{39}}{4} = \dfrac{{39}}{8}\).
\({\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|_{\min }}\) khi và chỉ khi \(a = \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow b = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{{15}}{8}\)
\(F = a + 4b = \dfrac{1}{2} + 4.\dfrac{{15}}{8} = 8\).
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
