Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(D\) sao

Câu hỏi số 605851:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HA\). Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CB\)

a) Chứng minh \(C\) là trọng tâm của \(\Delta ADE\)

b) Tia \(AC\) cắt \(DE\) tại \(M\). Chứng minh \(AE//HM\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605851

Phương pháp giải

+ Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác kia thì hai tam giác này bằng nhau.

+ Tam giác cân có hai góc ở đáy và hai cạnh bên bằng nhau

+ Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.

+ Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường tuyến, đường phân giác, đường trung trực của tam giác đó.

+ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH\) là đường cao

\( \Rightarrow AH\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC = \dfrac{1}{2}BC\)

Ta có \(EH = CE + HC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow EH = BC + \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{3}{2}BC = \dfrac{3}{2}CE\\ \Rightarrow CE = \dfrac{2}{3}EH\end{array}\)

Xét \(\Delta ADE\) có:

\(EH\) là đường trung tuyến

\(CE = \dfrac{2}{3}EH\)

\( \Rightarrow C\) là trọng tâm của \(\Delta ADE\)

b) Xét \(\Delta ADE\) có :

\(AM\) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow MD = ME\)

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông trong \(\Delta EHD\) vuông tại \(H\), ta được : \(MH = ME = MD\)

\( \Rightarrow \Delta MHE\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \angle MHE = \angle MEH\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta EHA = \Delta EHD\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle AEH = \angle DEH\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle MHE = \angle AEH\left( { = \angle DEH} \right)\)

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên \(HM//AE\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link