Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6;-1), B(5;10;-9) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x +

Câu hỏi số 608823:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6;-1), B(5;10;-9) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x + 2y + z - 12 = 0\). Điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho hai đường thẳng MA và MB luôn tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn đó bằng:

A. \(\dfrac{9}{2}\).

B. -4.

C. 2.

D. 10.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608823

Giải chi tiết

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên \(\left( \alpha \right)\).

Ta có: \(AH = d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = 6,\,\,BK = d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right) = 3.\)

Vì \(\left( {MA,\left( \alpha \right)} \right) = \left( {MB,\left( \alpha \right)} \right) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{BK}}{{BM}} \Leftrightarrow AM = 2BM.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2} = A{I^2} + I{M^2} + 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IM} \\B{M^2} = {\left( {\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IM} } \right)^2} = B{I^2} + I{M^2} + 2\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {IM} \end{array}\)

Mà \(AM = 2BM \Leftrightarrow A{M^2} = 4B{M^2} \Leftrightarrow 4B{M^2} - A{M^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4B{I^2} + 3I{M^2} - I{A^2} + 2\overrightarrow {IM} \left( {4\overrightarrow {BI} - \overrightarrow {IA} } \right) = 0\).

Chọn điểm I sao cho \(4\overrightarrow {BI} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{34}}{3}; - \dfrac{{34}}{3}} \right)\).

Khi đó \(I{M^2} = \dfrac{{I{A^2} - 4I{B^2}}}{3} = 40 \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu (S) tâm I, bán kính \(R = \sqrt {40} \).

Lại có \(M \in \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn giao tuyến của (S) và \(\left( \alpha \right)\), đường tròn này có tâm J là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right) \Rightarrow J\left( {2;10; - 12} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.