Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Câu hỏi số 608824:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}}\) là:

A. \(\left( {x + 2} \right){e^{2x}} + {e^x} + C\).

B. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + C\).

C. \(\left( {x - 1} \right){e^x} + C\).

D. \(\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x} + C\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608824

Phương pháp giải

+ Biến đổi \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}}\), nhân cả hai vế với \({e^x}\).

+ Sử dụng quy tắc tính đạo hàm một tích: \({e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right) = \left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)'\).

+ Lấy nguyên hàm hai vế tìm f(x) và tìm \(f\left( x \right){e^{2x}}\).

+ Sử dụng nguyên hàm từng phần tính \(\int {f\left( x \right){e^{2x}}dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) = x + C\end{array}\)

Thay x = 0 ta có \({e^0}f\left( 0 \right) = 0 + C \Leftrightarrow 2 = C\).

\( \Rightarrow {e^x}f\left( x \right) = x + 2 \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{2x}} = \left( {x + 2} \right){e^x}\).

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}dx} = \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 2 \Rightarrow du = dx\\dv = {e^x}dx \Rightarrow v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {x + 2} \right){e^x}dx} = \left( {x + 2} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 2} \right){e^x} - {e^x} + C = \left( {x + 1} \right){e^x} + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.