Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) với

Câu hỏi số 608933:

Vận dụng

Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn \((B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\). Đường thẳng \(DC\) cắt đường tròn tại \(E(E\) khác \(C)\). Chứng minh:

a) Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

b) \(D{B^2} = DE.DC\)

c) \(\angle DEA = \angle DAC\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608933

Giải chi tiết

a) Vì \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ABO = {90^0}\)

\(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle ABO,\angle ACO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\angle DBE = \angle BCE\) (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))

Xét \(\Delta BDE\) và \(\Delta CDB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BDC\,\,\,chung\\\angle DBE = \angle BCD\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BDE \sim \Delta CDB\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{{DE}}{{BD}}\\ \Rightarrow D{B^2} = DE.DC\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) Vì \(D\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow DB = DA\)

Do đó, \(A{D^2} = DE.DC = D{B^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{DC}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CDA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ADC\,\,\,chung\\\dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{DC}}{{AD}}\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta CDA\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ADE = \angle ADC\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link