Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với a nguyên dương, biết \(f\left( 5 \right) -

Câu hỏi số 608966:

Vận dụng

Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với a nguyên dương, biết \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2012\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608966

Phương pháp giải

Tính \(f\left( 5 \right),f\left( 7 \right),f\left( 2 \right),f\left( 4 \right)\), lập luận chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) nên

\(\begin{array}{l}f\left( 5 \right) = a{.5^3} + b{.5^2} + c.5 + d = 125a + 25b + 5c + d\\f\left( 4 \right) = a{.4^3} + b{.4^2} + c.4 + d = 64a + 16b + 4c + d\\ \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = \left( {125a + 25b + 5c + d} \right) - \left( {64a + 16b + 4c + d} \right) = 61a + 9b + c\\ \Rightarrow 61a + 9b + c = 2012\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( 7 \right) = a{.7^3} + b{.7^2} + c.7 + d = 343a + 49b + 7c + d\\f\left( 2 \right) = a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + d = 8a + 4b + 2c + d\\ \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) = \left( {343a + 49b + 7c + d} \right) - \left( {8a + 4b + 2c + d} \right) = 335a + 45b + 5c = 5\left( {67a + 9b + c} \right)\\ \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) = 5\left( {61a + 9b + c} \right) + 30a = 5.2012 + 30a = 10\left( {1006 + 10a} \right)\end{array}\)

Vì a nguyên dương nên \(10\left( {1006 + 10a} \right)\) > 10 mà \(10\left( {1006 + 10a} \right) \vdots 10\) nên \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link