Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x}

Câu hỏi số 611588:

Vận dụng cao

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 4}}\).

A. \(\dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{2 + \sin x + \cos x}}{{2 - \sin x - \cos x}}} \right) + C\).

B. \( - \dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{2 + \sin x + \cos x}}{{2 - \sin x - \cos x}}} \right) + C\).

C. \(\dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{2 + \sin x - \cos x}}{{2 - \sin x + \cos x}}} \right) + C\).

D. \(\dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{\sin x + \cos x + 2}}{{\sin x + \cos x - 2}}} \right) + C\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611588

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(u = \sin x + \cos x\)

Giải chi tiết

Đặt \(u = \sin x + \cos x\)

\( \Rightarrow du = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 4}}} \\ = \int { - \dfrac{1}{{{u^2} - 4}}du} \end{array}\)

\( = - \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{u - 2}} - \dfrac{1}{{u + 2}}} \right)du} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\dfrac{1}{{u - 2}} - \dfrac{1}{{u + 2}}} \right)du} \\ = \int {\dfrac{{d\left( {u - 2} \right)}}{{u - 2}} - \dfrac{{d\left( {u + 2} \right)}}{{u + 2}}} \\ = \ln \left( {u - 2} \right) - \ln \left( {u + 2} \right) + C\\ = \ln \left( {\dfrac{{u - 2}}{{u + 2}}} \right) + C\end{array}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 4}}} dx\\ = - \dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{\sin x + \cos x - 2}}{{\sin x + \cos x + 2}}} \right) + C\\ = \dfrac{1}{4}\ln \left( {\dfrac{{\sin x + \cos x + 2}}{{2 - \sin x - \cos x}}} \right) + C\end{array}\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.