Tính thể tích của khối tứ diện đều biết chiều cao tứ diện bằng \(a\).

Câu 611587: Tính thể tích của khối tứ diện đều biết chiều cao tứ diện bằng \(a\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}{a^3}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}{a^3}\).

Câu hỏi : 611587

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(x\), dùng định lý Pitago tính \(x\) theo \(a\)

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có đường cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(x,\,\,O\) là trọng tâm tam giác đều \(BCD\)
Do đó \(AO \bot \left( {BCD} \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(x\) nên \(BM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(ABO\) có
\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{O^2} + A{O^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{BCD}} = \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\end{array}\)
Vậy thể tích khối chóp \(ABCD\) là
\(V = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}}.AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.