Cho các số dương \(a,\,\,b\) thay đổi luôn thỏa mãn \(b > a > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 611589:

Vận dụng

Cho các số dương \(a,\,\,b\) thay đổi luôn thỏa mãn \(b > a > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\log _a}b + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}\).

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(\dfrac{{13}}{4}\).

C. 3.

D. \(3\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611589

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương \(a,\,\,b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Giải chi tiết

Vì \(b > a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _b}b = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _a}b + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}\\ = {\log _a}b - 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}} + 1\\ \ge 2\sqrt {\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} + 1 = 3\end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b - 1 = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}} \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)^2} = 1\\b > a > 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {\log _a}b - 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.