Gọi M là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho có đúng một số phức z

Câu hỏi số 612693:

Vận dụng

Gọi M là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho có đúng một số phức z thỏa mãn \(\left| {z - m} \right| = 3\) và \(z\left( {\overline z - 4} \right)\) là số thuần ảo. Tính tổng tất cả các phần tử của M.

A. -2.

B. 4.

C. 8.

D. 10.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612693

Phương pháp giải

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z từ giả thiết. Chứng minh tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai đường tròn.

Để có đúng 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (C₁) và (C₂) phải tiếp xúc nhau.

Điều kiện tiếp xúc ngoài: \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\), tiếp xúc trong: \({I_1}{I_2} = {R_1} - {R_2}\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\) ta có:

+) \(\left| {z - m} \right| = 3\) \( \Leftrightarrow \left| {x + yi - m} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 9\).

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C₁) tâm I₁(m;0), bán kính R₁ = 3.

+) \(z\left( {\overline z - 4} \right)\) là số thuần ảo.

\( \Rightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi - 4} \right)\) là số thuần ảo.

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4yi\) là số thuần ảo.

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 4x = 0\)

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C₂) tâm I₂(2;0), bán kính R₂ = 2.

Để có đúng 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (C₁) và (C₂) phải tiếp xúc nhau.

Ta có: \({I_1}{I_2} = \left| {m - 2} \right|\), \({R_1} + {R_2} = 5,\,\,{R_1} - {R_2} = 1\).

+ TH1: Tiếp xúc ngoài: \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 3\end{array} \right.\)

+ TH1: Tiếp xúc trong: \({I_1}{I_2} = {R_1} - {R_2} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = - \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn bằng 8.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.