Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn f(0)

Câu hỏi số 612692:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn f(0) = 0, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = 1\) vaf \(f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + {x^2} = 1 + 2xf'\left( x \right)\). Tính f(2).

A. 1 + ln3.

B. 2 + ln3.

C. 2 – ln3.

D. 1 – ln3.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612692

Phương pháp giải

Chứng minh f’(0) = 1. Sử dụng định nghĩa đạo hàm.

Đặt \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) - x \Rightarrow g'\left( x \right) = f''\left( x \right) - 1\). Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế tìm g(x), từ đó suy ra f’(x).

Tìm f(x) và tính f(2).

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 1 \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = 1.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + {x^2} = 1 + 2xf'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + {x^2} - 2xf'\left( x \right) = - f''\left( x \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]^2} = - \left( {f''\left( x \right) - 1} \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) - x \Rightarrow g'\left( x \right) = f''\left( x \right) - 1\).

Khi đó ta có: \({g^2}\left( x \right) = - g'\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} = - 1.\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: \( - \dfrac{1}{{g\left( x \right)}} = - x + C \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - C}} \Rightarrow f'\left( x \right) = x + \dfrac{1}{{x - C}}\).

Thay x = 0 ta có \(f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{ - C}} = 1 \Leftrightarrow C = - 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = x + \dfrac{1}{{x + 1}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right| + C'\end{array}\)

Thay x = 0 ta có \(f\left( 0 \right) = C' = 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|\).

Vậy \(f\left( 2 \right) = 2 + \ln 3.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.