Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\,\widehat {BAD} = {60^0}\) và \(A'A =

Câu hỏi số 613444:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\,\widehat {BAD} = {60^0}\) và \(A'A = a\sqrt 5 \). Biết rằng mặt phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt đáy và hai mặt phẳng (AA’C’C), (AA’B’B) tạo với nhau góc \({45^0}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\).

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613444

Phương pháp giải

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \subset \left( P \right)\\a \bot d\end{array} \right.\,\, \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\).

- Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (?) và (?).

- Tìm trong mỗi mặt phẳng (?), (?) một đường thẳng ?,? cùng cùng vuông góc với Δ và cùng cắt Δ tại điểm .

- Xác định góc giữa ? và ?.

Giải chi tiết

Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm của 2 hình thoi \(ABCD,\,A'B'C'D'\).

Dựng \(OX \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow X \in A'C'\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AC\\OD \subset \left( {ABCD} \right)\\OD \bot AC\end{array} \right.\,\, \Rightarrow OD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

Tương tự : \(O'D' \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

Dựng \(A'H \bot DD',A'K \bot OO' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' \bot A'K\\AA' \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( {\left( {AA'C'C} \right),\left( {AA'B'B} \right)} \right) = \widehat {HA'K} = {45^0}\).

Đồng thời \(HK \bot OO' \Rightarrow HK//OD\).

\( \Rightarrow \Delta A'HK\) vuông cân tại K \(,A'K = HK = O'D' = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}a\).

Diện tích hình bình hành: \({S_{AOO'A'}} = A'K.AA' = OA.OX \Rightarrow \dfrac{a}{2}.a\sqrt 5 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.OX \Rightarrow OX = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\).

Thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: \(V = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.