Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + \left( {m + 8} \right){x^2} + 1\) với \(m\) là tham số thực. Trên

Câu hỏi số 613443:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + \left( {m + 8} \right){x^2} + 1\) với \(m\) là tham số thực. Trên đoạn [0;2], nếu giá trị lớn nhất của hàm số bằng f(1) thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đó bằng

A. \( - 21\).

B. \(\dfrac{{11}}{3}\).

C. \( - \dfrac{{61}}{3}\).

D. 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613443

Phương pháp giải

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số f trên đoạn [a;b], ta làm như sau:

- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng (a;b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên [a;b]; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên [a;b].

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = m{x^4} + \left( {m + 8} \right){x^2} + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 4m{x^3} + 2\left( {m + 8} \right)x = 2x\left[ {2m{x^2} + m + 8} \right]\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} = - m - 8\,\,(*)\end{array} \right.\).

\(m = 0 \Rightarrow \) (*) vô nghiệm. \(f\left( x \right) = 8{x^2},\,f'\left( x \right) = 16x\), có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \ne f\left( 1 \right) \Rightarrow \) Loại.
\(m \ne 0 \Rightarrow \) (*)\( \Leftrightarrow \)\({x^2} = \dfrac{{ - m - 8}}{{2m}}\)

Nếu \(m \in \left( { - \infty ; - 8} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) ta có \(\dfrac{{ - m - 8}}{{2m}} < 0\), vậy \({x^2} = \dfrac{{ - m - 8}}{{2m}}\) vô nghiệm. Vậy hàm số sẽ không đạt GTLN tại x = 1.

Nếu \(m = - 8 \Rightarrow f\left( x \right) = - 8{x^4} + 1,\,\,f'\left( x \right) = - 32{x^3}\), có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \ne f\left( 1 \right) \Rightarrow \) Loại.

Nếu \(m \in \left( { - 8;0} \right)\) ta có \(\dfrac{{ - m - 8}}{{2m}} > 0\) \( \Rightarrow {x^2} = \dfrac{{ - m - 8}}{{2m}}\) có 2 nghiệm

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng \(f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - m - 8}}{{2m}} = 1 \Leftrightarrow - m - 8 = 2m \Leftrightarrow m = - \dfrac{8}{3}\) (TM).

Khi đó: \(f\left( x \right) = - \dfrac{8}{3}{x^4} + \dfrac{{16}}{3}{x^2} + 1,\,\,f'\left( x \right) = - \dfrac{{32}}{3}{x^3} + \dfrac{{32}}{3}x\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\).

\(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = \dfrac{{11}}{3},f\left( 2 \right) = - \dfrac{{61}}{3} \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đó trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng \( - \dfrac{{61}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.