1. Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác luôn nhỏ hơn 2 thì diện
1. Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác luôn nhỏ hơn 2 thì diện tích của tam giác đó nhỏ hơn \(\sqrt 3 \).
2. Cho các số thực \(a,b,c\) sao cho phương trình \(a{x^2} + bx + c + 2022 = 0\) nhận \(x = 1\) là nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Quảng cáo
1) Chứng minh \(AH < \sqrt 3 \)
2) \(\sqrt {3{a^2} - 2ab + 3{b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 2{{\left( {a + b} \right)}^2}} \ge \sqrt {2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\)
Suy ra \(P \ge \left| {a + b} \right| + \left| {b + c} \right| + \left| {c + a} \right|\)
1)
Giả sử tam giác ABC có đường cao AH
Ta có: \(AB < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH < 2\\BH \le \dfrac{{BC}}{2} \le \dfrac{2}{2} = 1\end{array} \right.\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABH\) ta có:
\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\)
Vì \(AB < 2 \Rightarrow A{B^2} < 4\)
Suy ra \(A{H^2} + B{H^2} < 4 \Leftrightarrow A{H^2} < 4 - B{H^2} < 4 - {1^2} = 3\)
\( \Rightarrow AH < \sqrt 3 \)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC < \dfrac{1}{2}.2.\sqrt 3 = \sqrt 3 \)
Vậy nếu tất cả các cạnh của một tam giác luôn nhỏ hơn 2 thì diện tích của tam giác đó nhỏ hơn \(\sqrt 3 \)
2) Phương trình \(a{x^2} + bx + c + 2022 = 0\) nhận \(x = 1\) là nghiệm nên ta có:
\(a + b + c + 2022 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2022\)
\(P = \sqrt {3{a^2} - 2ab + 3{b^2}} + \sqrt {5{b^2} - 6bc + 5{c^2}} + \sqrt {6{c^2} - 8ca + 6{a^2}} \)
Ta có:
\(\sqrt {3{a^2} - 2ab + 3{b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + 2{{\left( {a + b} \right)}^2}} \ge \sqrt {2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\) (1)
\(\sqrt {5{b^2} - 6bc + 5{c^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {2b - 2c} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {b + c} \right)}^2}} = \left| {b + c} \right|\) (2)
\(\sqrt {6{c^2} - 8ca + 6{a^2}} = \sqrt {{{\left( {c + a} \right)}^2} + 5{{\left( {c - a} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {c + a} \right)}^2}} = \left| {c + a} \right|\) (3)
Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được \(P \ge \left| {a + b} \right| + \left| {b + c} \right| + \left| {c + a} \right|\)\( = 2\left| {a + b + c} \right| = 4044\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = - 2022\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = - 674\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4044 khi \(a = b = c = - 674\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
