Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định \(\left( {MN < 2R} \right)\). Kẻ đường kính AB vuông góc
Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định \(\left( {MN < 2R} \right)\). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E . Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K (K khác B).
1. Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
3. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI . Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của tam giác DEK.
Quảng cáo
1. Tổng hai góc đối bằng 1800
2. Chứng minh \(\Delta BCM \sim \Delta BMK\,\,\left( {g.g} \right)\)
3. Chứng minh DA, BK là phân giác của góc D, B
1. Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle AKE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle AKC = {90^0}\).
\(AB \bot MN\) tại E nên \(\angle AEC = {90^0}\)
Xét tứ giác AKCE có: \(\angle AKC + \angle AEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow AKCE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2. Chứng minh \(B{M^2} = BK.BC\).
Ta có: \(AB \bot MN\) nên B là điểm chính giữa cung MN
\( \Rightarrow \) số đo cung BM = số đo cung BN.
\( \Rightarrow \angle BMN = \angle MKB\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) \( \Rightarrow \angle BMC = \angle BKM\).
Xét \(\Delta BCM\) và \(\Delta BMK\) có:
\(\begin{array}{l}\angle MBK\,\,chung;\\\angle BMC = \angle BKM\,\,\left( {cmt} \right);\\ \Rightarrow \Delta BCM \sim \Delta BMK\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{BM}} = \dfrac{{BM}}{{BK}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow B{M^2} = BK.BC\,\,\left( {dpcm} \right)\).
3. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI . Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của tam giác DEK.
Tam giác ABI có:
\(\begin{array}{l}BK \bot AI\,\,\left( {do\,\,\angle AKB = {{90}^0}} \right)\\IE \bot AB\,\,\,\left( {do\,\,AB \bot MN} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow BK,IE\) là hai đường cao của \(\Delta ABI\)
\( \Rightarrow C\) là trực tâm của \(\Delta ABI\)
\( \Rightarrow AD\) là đường cao của tam giác \(\Delta ABI\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD \bot IB\\ \Rightarrow \angle ADB = {90^0}\end{array}\)
Mà AB là đường kính của đường tròn (O)
\( \Rightarrow D\) thuộc đường tròn (O)
Xét (O) có:
\(\angle ADK = \angle ABK\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)
\(\angle DKB = \angle DAB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Tứ giác AKCE nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle CKE = \angle CAE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BKE = \angle DAB\\ \Rightarrow \angle DKB = \angle DAB\end{array}\)
\( \Rightarrow KB\) là tia phân giác của \(\angle DKE\)
Tứ giác BDCE có: \(\angle BDC + \angle CEB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow BDCE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CDE = \angle CBE\) (2 góc này nội tiếp cùng chắn cung CE)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ADE = \angle ABK\\ \Rightarrow \angle ADK = \angle ADE\end{array}\)
\( \Rightarrow DA\) là tia phân giác của \(\angle EDK\)
Tam giác DEK có:
\(KB\) là tia phân giác của \(\angle DKE\)
\(DA\) là tia phân giác của \(\angle EDK\)
Mà C là giao điểm của KB và DA
\( \Rightarrow C\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEK
Vậy C cách đều ba cạnh của tam giác DEK
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
